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# 20240218132513 状態空間モデルの導出

#tech #control_theory  #Modern_control_theory

出典: 南裕樹. _Pythonによる 制御工学入門(改訂2版)_. オーム社, 2024年. pp.67-68

制御系のシステムは一般的に微分方程式で表される。
時刻$t$ 、 入力$u(t)$ 、 出力 $y(t)$
とすると、
$$
\begin{equation} 
\begin{aligned} 
\frac{d^{n}}{dt^{n}} y(t) + a_{n-1} \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}} + \dots + a_{1}\frac{d}{dt} + a_{0y(t)} \\
= b_m\frac{d^{m}}{dt^{m}} u(t)+ b_{m-1}\frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}u(t) + \dots + b_1\frac{d}{dt}u(t) + b_{0u(t) }  
\end{aligned}
\end{equation} \tag{1}
$$



となる。 制御の範囲では、一般に $n \ge m$

ここで、$p = \frac{d}{dt}$ とおいて、

$$
\begin{equation}
\left\{ \,
\begin{aligned}
A(p) &= p^{n}+ a_{n-1}p^{n-1} + \dots + a_1p+ a_{0} \\
B(p) &= p^{m}+ b_{m-1}p^{m-1} + \dots + b_1p+ a_0
\end{aligned}
\right.
\end{equation} \tag{2}
$$

とおくと、 (1) は
$$
A(p)y = B(p)u \tag{3}
$$
と書ける ((t) は省略)。


(3) を変形すると

$$
\frac{y}{B(p)} = \frac{u}{A(p)} \tag{4}
$$
、これを $v$ とおく。 
両辺を$A(p)$倍すると、
$$
\begin{aligned}
& A(p) \cdot \frac{y}{B(p)} = u\\
&\Leftrightarrow A(p) v = u \\
\end{aligned} \tag{5}
$$

両辺を$B(p)$倍すると、
$$
\begin{aligned}
& y = B(p)\frac{u}{A(p)}\\
&\Leftrightarrow y = B(p)v \\
\end{aligned} \tag{6}
$$


ここで、n次元ベクトル
$$
\boldsymbol{x} = 
\left[
\begin{array}{c}
x_{1}\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{array}
\right] \coloneqq

\left[
\begin{array}{c}
v\\
pv\\
\vdots\\
p^{n-1}v
\end{array}
\right] \tag{7} 

$$
を定義すると、
$$
\boldsymbol{\dot{x}} = p\boldsymbol{x} = 
\left[
\begin{array}{c}
pv\\
p^2v\\
\vdots\\
p^nv
\end{array}
\right]
= \left[
\begin{array}{c}
x_2\\
x_3\\
\vdots\\
-a_0x_{1} \ -a_1x_{2}\ \dots +u
\end{array}
\right] \tag{8}
$$
と書くことができる。 
(8) の最後、 $-a_0x_{1} \ -a_1x_{2}\ \dots +u$ はどこから来たか？というと、

(5)より、
$$
\begin{aligned}
&A(p) v = u ,\\
& \Leftrightarrow p^{n}v + a_{n_{1}p^{n-1}}+ \dots + a_{1p}+ a_{0}= u\\
& \Leftrightarrow p^{n}v = - a_{n_{1}p^{n-1}} -  \dots -  a_{1p}+ a_{0} + u
\end{aligned}
$$

また、 (6)より、
$$
y = (b_{n}p^{m} + b_{m_{1}p^{m-1}}+ \dots + b_{1}p+ b_0)v
$$
展開して順番を変えると
$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow b_{0}v+ b_{1}pv + \dots \ b_{m-1}p^{m-1} + b_{m}p^{m}v
\end{aligned}
$$
$v, pv, \dots ,p^{m-1}v, b_mp^mv$  の各係数は $\boldsymbol{x}$ と同じなので、
$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow b_{0}x_{1}+ b_{1}x_{2}+ \dots + b_{m}x_{m+1}
\end{aligned} \tag{9}
$$
と表わすことができる。

(8)、(9)を行列で表すと、
$$
\begin{equation}
\left\{ \,
\begin{aligned}

\boldsymbol{\dot{x}} &= \boldsymbol{A}\boldsymbol{x} + \boldsymbol{B}\\
y &= \boldsymbol{C}\boldsymbol{x}
\end{aligned}
\right .
\end{equation}
$$

ここで、$\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ はそれぞれ、
$$
\boldsymbol{A} = \left[
\begin{array}{l}
&0 \ 1 \ 0 \ \dots &0\\
&0 \ 0 \ 1 \ \dots &0\\
&\vdots\\
&\dots  \ \ &1\\
&-a_{0} \ -a_{1} \ \dots \ &-a_{n-1}
\end{array}
\right]
$$

$$
\boldsymbol{B} = 
\left[
\begin{array}{c}
0\\
0\\
\vdots\\
1

\end{array}
\right]
$$

$$
\boldsymbol{C} = 
\left[
  b_{0} \ b_{1} \ \dots b_{m} \ 0 \ \dots 0
\right]
$$