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## 20240221150355 state variable filterの動作原理
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state variableが何か？をちゃんと説明している資料:
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[Op-Amp Implementation of Analog Filters | Signal Processing: Continuous and Discrete | Mechanical Engineering | MIT OpenCourseWare](https://ocw.mit.edu/courses/2-161-signal-processing-continuous-and-discrete-fall-2008/resources/lpopamp/)
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一般的な二次のプロパーな伝達関数はこのように表される。
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H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_{2}s^{2} + b_{1}s + b_{0}}{s^{2}+a_{1}s + a_0} \tag{1}
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$$
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$X(s)$ を導入して、分母と分子を分割すると、
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$$
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\begin{aligned}
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H_{1}(s) &= \frac{X(s)}{U(s)} = \frac{1}{s^{2}+a_{1}s + a_{0}},\\
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H_{2}(s) &= \frac{Y(s)}{X(s)} = b_{2}s^{2} + b_{1}s + b_{0},\\
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H(s) &= H_{1}(s) \cdot H_{2}(s).
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\end{aligned} \tag{2}
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$H_1(s)$ の式を変形すると、
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X(s) \cdot (s^{2}+ a_{1}s + a_{0}) = U(s) \tag{3}
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(3)式を展開して、ラプラス逆変換すると、
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$$
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\begin{aligned}
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&X(s)\cdot s^{2}+ a_{1}X(s)\cdot s + a_{0}X(S)= U(s)\\
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&\Leftrightarrow
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\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t)+a_1\frac{d}{dt}x(t) + a_{0}x(t) = u(t).
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\end{aligned} \tag{4}
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同様に、$H_2(s)$より、
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\begin{aligned}
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Y(s) &= X(s) \cdot (b2s^{2}+ b_{1}s + b_{0})\\
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\Leftrightarrow y(t) &= b2\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t)+b1\frac{dx}{dt}x(t) + b_{0}x(t).
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\end{aligned} \tag{5}
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(4) の右辺を変形すると、
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$$
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\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t) = -a_1\frac{d}{dt}x(t) - a_{0}x(t) + u(t). \tag{6}
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$$
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(6)式はブロック図で以下のように表現できる。
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![[Pasted image 20240221143559.png|500]]
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※ この段階ではフィードフォワード方向の伝達関数は含まれていないが、オールパスフィルタが必要で無い限り、実はここまでのブロックでOK。
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このブロック図の伝達関数は(2)の$H_{1}(s)$ そのもの。
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![[Pasted image 20240221144757.png | 500]]
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このブロック図の赤矢印の点からの出力を計算したい。 $H_{1}$ の定義とブロック図上の関係から、以下が求められる。
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$$
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\begin{aligned}
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H_{LP}(s) &= a0 \cdot H_{1}(s) = \frac{a_{0}}{s^{2}+a_{1}s + a_{0}}\\
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\\
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H_{BP}(s) &= a1 \cdot s \cdot H_{1} = \frac{a_{1}s}{s^{2}+a_{1}s + a_{0}}\\
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\\
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H_{HP}(s) &= s \cdot s \cdot H_{1} = \frac{s^2}{s^{2}+a_{1}s + a_{0}}
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\end{aligned} \tag{7}
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$$
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それぞれ、
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- $H_{LP}(s)$は零点を持たない2次の伝達関数 ローパスフィルタ
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- $H_{BP}(s)$は零点を1つ原点に持つ2次の伝達関数 バンドパスフィルタ
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- $H_{HP}$は零点を2つ原点に持つ2次の伝達関数 ハイパスフィルタ
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を構成していることがわかる。なぜ、それぞれがローパスやハイパスになるか？ については、
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[[20240221150711 極、零点とフィルタの特性|極、零点とフィルタの特性]] を参照。
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(2)の $H_2(s)$も含めた全体は、こんな感じ。これだと任意の2次の伝達関数が表現できる。
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![[Pasted image 20240221151936.png|500]]
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## cf.
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[Op-Amp Implementation of Analog Filters | Signal Processing: Continuous and Discrete | Mechanical Engineering | MIT OpenCourseWare](https://ocw.mit.edu/courses/2-161-signal-processing-continuous-and-discrete-fall-2008/resources/lpopamp/)
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