From 0072a107980460053845295a85fbdb1a6a932acb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "kaz Saita@raspi4" <saita@kinoshita-lab.org>
Date: Fri, 8 Mar 2024 16:00:12 +0900
Subject: [PATCH] sync notes(auto)

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 content/20240308121258 テイラー展開.md | 52 ++++++++++++++++++++++++++
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index 0000000..19587e8
--- /dev/null
+++ b/content/20240308121258 テイラー展開.md	
@@ -0,0 +1,52 @@
+# 20240308121258 テイラー展開
+#tech #math 
+## とは何
+これはマクローリン展開(x=0のような気がするが、参考文献 [原岡, オイラーの公式がわかる.](https://amazon.co.jp/dp/406257818211) では「テイラー展開」と書いてあった。
+
+関数$f(x)$が、以下のようにべき級数で表せるとする。
+$$
+f(x) = a_{0}+ a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + \cdots + a_{n}x^{n}+ \cdots
+\tag{1}
+$$
+このとき、 $a_{0}, a_{1}, \cdots$ を求めたい。
+$a_0$ は、 $f(x)$ に、 $x = 0$ を代入して
+$$
+a_{0} = f(0)\tag{2}
+$$
+と求めることができる。
+$a_{1}$ を求めるには、 $f(x)$を微分した、
+$$
+f'(x) = a_{1}+ 2a_{2}x + 3a_{3}x^{2}+ \cdots na_{n}x^{n-1} + \cdots\tag{3}
+$$
+に、 $x=0$を代入して、
+$$
+a_{1}= f'(0)\tag{3}
+$$
+で求めることができる。同様に、 $a_{2}$ が求めたかったら、 $f'(x)$を微分して、
+$$
+f''(x) = 2a_{2} + 3\cdot 2\cdot a_{3}x + \cdots n\cdot (n-1) \cdot a_{n}x^{n-2} + \cdots\tag{4}
+$$
+として、 
+$$
+a_{2} = \frac{f''(0)}{2}\tag{5}
+$$
+で求めることができる。 この作業を繰りかえしていくことで、順次 $a_{n}$ を求めることができる。微分するたびに、 べき乗の次数が係数に乗算されていくので、その分で割る必要がある。一般化するとこうなる。
+$$
+a_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\tag{6}
+$$
+(1) に(6)を代入すると、
+$$
+\begin{aligned}
+f(x) &= \frac{f(0)}{0!} + \frac{f'(x)}{1!}x + \frac{f''(x)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}}{n!}x^n + \cdots\\
+&\\
+&= \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}}{n!}x^n
+\end{aligned}\tag{7}
+$$
+
+## 条件など
+関数が無限に微分できること($C^\infty$級)であること、定義域が実数全体ではない場合があること、など色々あるが、今のところ自分が興味あるのが  $e, \sin , \cos$ などで、それらでは実数全体でテイラー展開可能なので、あまり気にしないことにする。
+
+
+Ref.  
+- [原岡, オイラーの公式がわかる.](https://amazon.co.jp/dp/406257818211)
+- [テイラー展開・マクローリン展開とは【解析的な関数と具体例】 | 数学の景色](https://mathlandscape.com/taylor-expansion/)