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content/20240221150355 state variable filterの動作原理.md
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## 20240221150355 state variable filterの動作原理
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state variableが何か?をちゃんと説明している資料:
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[Op-Amp Implementation of Analog Filters | Signal Processing: Continuous and Discrete | Mechanical Engineering | MIT OpenCourseWare](https://ocw.mit.edu/courses/2-161-signal-processing-continuous-and-discrete-fall-2008/resources/lpopamp/)
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一般的な二次のプロパーな伝達関数はこのように表される。
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$$
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H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_{2}s^{2} + b_{1}s + b_{0}}{s^{2}+a_{1}s + a_0} \tag{1}
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$$
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$X(s)$ を導入して、分母と分子を分割すると、
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$$
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\begin{aligned}
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H_{1}(s) &= \frac{X(s)}{U(s)} = \frac{1}{s^{2}+a_{1}s + a_{0}},\\
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H_{2}(s) &= \frac{Y(s)}{X(s)} = b_{2}s^{2} + b_{1}s + b_{0},\\
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H(s) &= H_{1}(s) \cdot H_{2}(s).
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\end{aligned} \tag{2}
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$$
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$H_1(s)$ の式を変形すると、
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$$
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X(s) \cdot (s^{2}+ a_{1}s + a_{0}) = U(s) \tag{3}
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$$
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(3)式を展開して、ラプラス逆変換すると、
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$$
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\begin{aligned}
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&X(s)\cdot s^{2}+ a_{1}X(s)\cdot s + a_{0}X(S)= U(s)\\
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&\Leftrightarrow
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\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t)+a_1\frac{d}{dt}x(t) + a_{0}x(t) = u(t).
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\end{aligned} \tag{4}
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$$
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同様に、$H_2(s)$より、
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$$
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\begin{aligned}
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Y(s) &= X(s) \cdot (b2s^{2}+ b_{1}s + b_{0})\\
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\Leftrightarrow y(t) &= b2\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t)+b1\frac{dx}{dt}x(t) + b_{0}x(t).
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\end{aligned} \tag{5}
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$$
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(4) の右辺を変形すると、
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$$
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\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t) = -a_1\frac{d}{dt}x(t) - a_{0}x(t) + u(t). \tag{6}
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$$
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(6)式はブロック図で以下のように表現できる。
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![[Pasted image 20240221143559.png|500]]
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※ この段階ではフィードフォワード方向の伝達関数は含まれていないが、オールパスフィルタが必要で無い限り、実はここまでのブロックでOK。
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このブロック図の伝達関数は(2)の$H_{1}(s)$ そのもの。
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![[Pasted image 20240221144757.png | 500]]
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このブロック図の赤矢印の点からの出力を計算したい。 $H_{1}$ の定義とブロック図上の関係から、以下が求められる。
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$$
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\begin{aligned}
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H_{LP}(s) &= a0 \cdot H_{1}(s) = \frac{a_{0}}{s^{2}+a_{1}s + a_{0}}\\
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\\
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H_{BP}(s) &= a1 \cdot s \cdot H_{1} = \frac{a_{1}s}{s^{2}+a_{1}s + a_{0}}\\
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\\
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H_{HP}(s) &= s \cdot s \cdot H_{1} = \frac{s^2}{s^{2}+a_{1}s + a_{0}}
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\end{aligned} \tag{7}
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$$
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それぞれ、
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- $H_{LP}(s)$は零点を持たない2次の伝達関数 ローパスフィルタ
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- $H_{BP}(s)$は零点を1つ原点に持つ2次の伝達関数 バンドパスフィルタ
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- $H_{HP}$は零点を2つ原点に持つ2次の伝達関数 ハイパスフィルタ
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を構成していることがわかる。なぜ、それぞれがローパスやハイパスになるか? については、
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[[20240221150711 極、零点とフィルタの特性|極、零点とフィルタの特性]] を参照。
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(2)の $H_2(s)$も含めた全体は、こんな感じ。これだと任意の2次の伝達関数が表現できる。
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![[Pasted image 20240221151936.png|500]]
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## cf.
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[Op-Amp Implementation of Analog Filters | Signal Processing: Continuous and Discrete | Mechanical Engineering | MIT OpenCourseWare](https://ocw.mit.edu/courses/2-161-signal-processing-continuous-and-discrete-fall-2008/resources/lpopamp/)
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content/20240221150711 極、零点とフィルタの特性.md
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content/20240221150711 極、零点とフィルタの特性.md
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@ -0,0 +1,58 @@
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# 20240221150711 極、零点とフィルタの特性
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#filter #analog #electronics
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## 周波数特性と極、零点 一般的な話
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一般にフィルタ(というか古典制御の伝達関数)は、極と零点をつかって、以下のように書ける。
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$$
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\begin{aligned}
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H(s) &= \frac{b_{ms^{m}+}b_{m-1}s^{m-1} + \dots + b_0 }{a_{n}s^{n}+ a_{n-1}s^{n-1} + \dots a_{0}}\\
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\\
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&= k\frac{(s-z_1)(s-z_{2)\dots}(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\dots(s-p_n)}
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\end{aligned} \tag{1}
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$$
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このとき、任意の複素平面上の点$q$における振幅、位相特性は
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$$
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\begin{aligned}
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|H(s)|_{s=q} &= k\frac{(q-z_{1})(q-z_{2)} \dots (q-z_m)}
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{(q-p_1)(q-p_2)\dots(q-p_n)}\\
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\\
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&= k\frac{r_1e^{j\phi_{1}} \cdot r_2e^{j\phi_{2}} \cdots r_me^{j\phi_{m}}}
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{d_1e^{j\theta_{1}} \cdot d_2e^{j\theta_{2}} \cdots d_ne^{j\theta_{n}}}
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\end{aligned} \tag{2}
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$$
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(2) の2番目は極座標表記。
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このとき、ゲイン$|H(s)|$ は
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$$
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\begin{aligned}
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|H(s)|_{s=q} & = k\frac{r_{1}r_{2}\cdots r_m}{d_{1}d_{2}\cdots d_n}\\
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\\
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&= \frac{\prod_{t=1}^{m}r_{t}}{\prod_{t=1}^{n}d_t}
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\end{aligned} \tag{3}
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$$
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位相 $\arg H(s)$ は
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$$
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\begin{aligned}
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\arg H(s) _{s=q} & = k\frac{\phi_{1}+ \phi_{2} + \cdots + \phi_{m}}
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{\theta_{1}+ \theta_{2} + \cdots \theta_{n}}\\
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\\
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&= \frac{\sum\limits_{t=1}^{m}\phi_{t}}{\sum\limits_{t=1}^{n}\theta_t}
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\end{aligned} \tag{4}
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$$
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と表せる。
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周波数特性を気にしたい場合、 点$q$として、周波数$j\omega$ が0から$+\infty$ まで移動した時の振幅と位相を求めれば良い。つまり、虚軸を原点から上方向に進んでいく直線上で上記を求めれば良い。
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## 2次の伝達関数の場合の例
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## cf.
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- [Pole-Zero Analysis | Introduction to Digital Filters](https://www.dsprelated.com/freebooks/filters/Pole_Zero_Analysis_I.html)
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- [321 08 Poles, Zeros, and Frequency Response - YouTube](https://youtu.be/W2ubAg8RTd8?t=863)
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||||
- [Understanding Poles and Zeros in Transfer Functions - Technical Articles](https://www.allaboutcircuits.com/technical-articles/understanding-poles-and-zeros-in-transfer-functions/)
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||||
- [Site Unreachable](https://www.analog.com/jp/resources/technical-articles/a-filter-primer.html)
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||||
- [Lecture 23 Filters Hung-yi Lee. - ppt download](https://slideplayer.com/slide/3990721/)
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||||
- [Pole-Zero Analysis | Introduction to Digital Filters](https://www.dsprelated.com/freebooks/filters/Pole_Zero_Analysis_I.html)
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content/20240301110205 Somewhere in Detroit.md
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content/20240301110205 Somewhere in Detroit.md
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# 20240301110205 Somewhere in Detroit
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#mus #detroit #techno
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Roland が作ったデトロイトテクノのドキュメンタリー
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https://www.youtube.com/watch?v=5ErxKvL_zzU
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