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content/20240221150355 state variable filterの動作原理.md

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+## 20240221150355 state variable filterの動作原理
+state variableが何か？をちゃんと説明している資料:
+[Op-Amp Implementation of Analog Filters | Signal Processing: Continuous and Discrete | Mechanical Engineering | MIT OpenCourseWare](https://ocw.mit.edu/courses/2-161-signal-processing-continuous-and-discrete-fall-2008/resources/lpopamp/)
+
+一般的な二次のプロパーな伝達関数はこのように表される。
+$$
+H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_{2}s^{2} + b_{1}s + b_{0}}{s^{2}+a_{1}s + a_0} \tag{1}
+$$
+
+ $X(s)$ を導入して、分母と分子を分割すると、
+ $$
+ \begin{aligned}
+H_{1}(s) &= \frac{X(s)}{U(s)} = \frac{1}{s^{2}+a_{1}s + a_{0}},\\
+H_{2}(s) &= \frac{Y(s)}{X(s)} =  b_{2}s^{2} + b_{1}s + b_{0},\\
+H(s) &= H_{1}(s) \cdot H_{2}(s). 
+ 
+ \end{aligned} \tag{2}
+$$
+
+$H_1(s)$ の式を変形すると、
+$$
+X(s) \cdot (s^{2}+ a_{1}s + a_{0}) = U(s) \tag{3}
+$$
+(3)式を展開して、ラプラス逆変換すると、
+$$
+\begin{aligned}
+&X(s)\cdot s^{2}+ a_{1}X(s)\cdot s + a_{0}X(S)= U(s)\\
+&\Leftrightarrow 
+\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t)+a_1\frac{d}{dt}x(t) + a_{0}x(t) = u(t).
+\end{aligned} \tag{4}
+$$
+
+
+同様に、$H_2(s)$より、
+$$
+\begin{aligned}
+Y(s) &= X(s) \cdot (b2s^{2}+ b_{1}s + b_{0})\\
+\Leftrightarrow y(t) &= b2\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t)+b1\frac{dx}{dt}x(t) + b_{0}x(t).
+\end{aligned} \tag{5}
+$$
+(4) の右辺を変形すると、
+$$
+\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t) = -a_1\frac{d}{dt}x(t) - a_{0}x(t) + u(t). \tag{6}
+$$
+
+(6)式はブロック図で以下のように表現できる。
+![[Pasted image 20240221143559.png|500]]
+※ この段階ではフィードフォワード方向の伝達関数は含まれていないが、オールパスフィルタが必要で無い限り、実はここまでのブロックでOK。
+
+このブロック図の伝達関数は(2)の$H_{1}(s)$ そのもの。
+
+![[Pasted image 20240221144757.png | 500]]
+このブロック図の赤矢印の点からの出力を計算したい。 $H_{1}$ の定義とブロック図上の関係から、以下が求められる。
+
+$$
+\begin{aligned}
+H_{LP}(s) &= a0 \cdot H_{1}(s) = \frac{a_{0}}{s^{2}+a_{1}s + a_{0}}\\
+\\
+H_{BP}(s) &= a1 \cdot s \cdot H_{1} = \frac{a_{1}s}{s^{2}+a_{1}s + a_{0}}\\
+\\
+H_{HP}(s) &= s \cdot s \cdot H_{1} = \frac{s^2}{s^{2}+a_{1}s + a_{0}}
+\end{aligned} \tag{7}
+$$
+
+それぞれ、 
+- $H_{LP}(s)$は零点を持たない2次の伝達関数 ローパスフィルタ
+- $H_{BP}(s)$は零点を1つ原点に持つ2次の伝達関数 バンドパスフィルタ
+- $H_{HP}$は零点を2つ原点に持つ2次の伝達関数 ハイパスフィルタ
+
+を構成していることがわかる。なぜ、それぞれがローパスやハイパスになるか？ については、
+[[20240221150711 極、零点とフィルタの特性|極、零点とフィルタの特性]] を参照。
+
+(2)の $H_2(s)$も含めた全体は、こんな感じ。これだと任意の2次の伝達関数が表現できる。
+![[Pasted image 20240221151936.png|500]]
+
+
+## cf.
+[Op-Amp Implementation of Analog Filters | Signal Processing: Continuous and Discrete | Mechanical Engineering | MIT OpenCourseWare](https://ocw.mit.edu/courses/2-161-signal-processing-continuous-and-discrete-fall-2008/resources/lpopamp/)

content/20240221150711 極、零点とフィルタの特性.md

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+# 20240221150711 極、零点とフィルタの特性
+#filter #analog #electronics 
+
+## 周波数特性と極、零点 一般的な話
+
+一般にフィルタ(というか古典制御の伝達関数)は、極と零点をつかって、以下のように書ける。
+$$
+\begin{aligned}
+H(s) &= \frac{b_{ms^{m}+}b_{m-1}s^{m-1} + \dots + b_0 }{a_{n}s^{n}+ a_{n-1}s^{n-1} + \dots a_{0}}\\
+\\
+&= k\frac{(s-z_1)(s-z_{2)\dots}(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\dots(s-p_n)}
+\end{aligned} \tag{1}
+$$
+
+このとき、任意の複素平面上の点$q$における振幅、位相特性は
+$$
+\begin{aligned}
+|H(s)|_{s=q} &= k\frac{(q-z_{1})(q-z_{2)} \dots (q-z_m)}
+{(q-p_1)(q-p_2)\dots(q-p_n)}\\
+\\
+&= k\frac{r_1e^{j\phi_{1}} \cdot r_2e^{j\phi_{2}} \cdots  r_me^{j\phi_{m}}}
+{d_1e^{j\theta_{1}} \cdot d_2e^{j\theta_{2}} \cdots d_ne^{j\theta_{n}}} 
+\end{aligned} \tag{2}
+$$
+(2) の2番目は極座標表記。
+このとき、ゲイン$|H(s)|$ は
+$$
+\begin{aligned}
+|H(s)|_{s=q} & = k\frac{r_{1}r_{2}\cdots r_m}{d_{1}d_{2}\cdots d_n}\\
+\\
+&= \frac{\prod_{t=1}^{m}r_{t}}{\prod_{t=1}^{n}d_t}
+
+\end{aligned} \tag{3}
+$$
+
+位相 $\arg H(s)$ は
+$$
+\begin{aligned}
+\arg H(s) _{s=q} & = k\frac{\phi_{1}+ \phi_{2} + \cdots + \phi_{m}}
+{\theta_{1}+ \theta_{2} + \cdots \theta_{n}}\\
+\\
+&= \frac{\sum\limits_{t=1}^{m}\phi_{t}}{\sum\limits_{t=1}^{n}\theta_t}
+
+\end{aligned} \tag{4}
+$$
+と表せる。
+
+周波数特性を気にしたい場合、 点$q$として、周波数$j\omega$ が0から$+\infty$ まで移動した時の振幅と位相を求めれば良い。つまり、虚軸を原点から上方向に進んでいく直線上で上記を求めれば良い。
+
+## 2次の伝達関数の場合の例
+
+## cf.
+- [Pole-Zero Analysis | Introduction to Digital Filters](https://www.dsprelated.com/freebooks/filters/Pole_Zero_Analysis_I.html)
+- [321 08 Poles, Zeros, and Frequency Response - YouTube](https://youtu.be/W2ubAg8RTd8?t=863)
+- [Understanding Poles and Zeros in Transfer Functions - Technical Articles](https://www.allaboutcircuits.com/technical-articles/understanding-poles-and-zeros-in-transfer-functions/)
+- [Site Unreachable](https://www.analog.com/jp/resources/technical-articles/a-filter-primer.html)
+- [Lecture 23 Filters Hung-yi Lee. - ppt download](https://slideplayer.com/slide/3990721/)
+- [Pole-Zero Analysis | Introduction to Digital Filters](https://www.dsprelated.com/freebooks/filters/Pole_Zero_Analysis_I.html)

content/20240301110205 Somewhere in Detroit.md

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+# 20240301110205 Somewhere in Detroit
+#mus #detroit #techno 
+
+Roland が作ったデトロイトテクノのドキュメンタリー
+
+https://www.youtube.com/watch?v=5ErxKvL_zzU