## 20240221150355 state variable filterの動作原理
state variableが何か？をちゃんと説明している資料:
[Op-Amp Implementation of Analog Filters | Signal Processing: Continuous and Discrete | Mechanical Engineering | MIT OpenCourseWare](https://ocw.mit.edu/courses/2-161-signal-processing-continuous-and-discrete-fall-2008/resources/lpopamp/)

一般的な二次のプロパーな伝達関数はこのように表される。
$$
H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_{2}s^{2} + b_{1}s + b_{0}}{s^{2}+a_{1}s + a_0} \tag{1}
$$

 $X(s)$ を導入して、分母と分子を分割すると、
 $$
 \begin{aligned}
H_{1}(s) &= \frac{X(s)}{U(s)} = \frac{1}{s^{2}+a_{1}s + a_{0}},\\
H_{2}(s) &= \frac{Y(s)}{X(s)} =  b_{2}s^{2} + b_{1}s + b_{0},\\
H(s) &= H_{1}(s) \cdot H_{2}(s). 
 
 \end{aligned} \tag{2}
$$

$H_1(s)$ の式を変形すると、
$$
X(s) \cdot (s^{2}+ a_{1}s + a_{0}) = U(s) \tag{3}
$$
(3)式を展開して、ラプラス逆変換すると、
$$
\begin{aligned}
&X(s)\cdot s^{2}+ a_{1}X(s)\cdot s + a_{0}X(S)= U(s)\\
&\Leftrightarrow 
\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t)+a_1\frac{d}{dt}x(t) + a_{0}x(t) = u(t).
\end{aligned} \tag{4}
$$


同様に、$H_2(s)$より、
$$
\begin{aligned}
Y(s) &= X(s) \cdot (b2s^{2}+ b_{1}s + b_{0})\\
\Leftrightarrow y(t) &= b2\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t)+b1\frac{dx}{dt}x(t) + b_{0}x(t).
\end{aligned} \tag{5}
$$
(4) の右辺を変形すると、
$$
\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t) = -a_1\frac{d}{dt}x(t) - a_{0}x(t) + u(t). \tag{6}
$$

(6)式はブロック図で以下のように表現できる。
![[Pasted image 20240221143559.png|500]]
※ この段階ではフィードフォワード方向の伝達関数は含まれていないが、オールパスフィルタが必要で無い限り、実はここまでのブロックでOK。

このブロック図の伝達関数は(2)の$H_{1}(s)$ そのもの。

![[Pasted image 20240221144757.png | 500]]
このブロック図の赤矢印の点からの出力を計算したい。 $H_{1}$ の定義とブロック図上の関係から、以下が求められる。

$$
\begin{aligned}
H_{LP}(s) &= a0 \cdot H_{1}(s) = \frac{a_{0}}{s^{2}+a_{1}s + a_{0}}\\
\\
H_{BP}(s) &= a1 \cdot s \cdot H_{1} = \frac{a_{1}s}{s^{2}+a_{1}s + a_{0}}\\
\\
H_{HP}(s) &= s \cdot s \cdot H_{1} = \frac{s^2}{s^{2}+a_{1}s + a_{0}}
\end{aligned} \tag{7}
$$

それぞれ、 
- $H_{LP}(s)$は零点を持たない2次の伝達関数 ローパスフィルタ
- $H_{BP}(s)$は零点を1つ原点に持つ2次の伝達関数 バンドパスフィルタ
- $H_{HP}$は零点を2つ原点に持つ2次の伝達関数 ハイパスフィルタ

を構成していることがわかる。なぜ、それぞれがローパスやハイパスになるか？ については、
[[20240221150711 極、零点とフィルタの特性|極、零点とフィルタの特性]] を参照。

(2)の $H_2(s)$も含めた全体は、こんな感じ。これだと任意の2次の伝達関数が表現できる。
![[Pasted image 20240221151936.png|500]]


## cf.
[Op-Amp Implementation of Analog Filters | Signal Processing: Continuous and Discrete | Mechanical Engineering | MIT OpenCourseWare](https://ocw.mit.edu/courses/2-161-signal-processing-continuous-and-discrete-fall-2008/resources/lpopamp/)