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content/20240217114253 フィルタの群遅延とは.md

@@ -17,7 +17,7 @@ linearで無い場合、増減したりする。そうなっていると周波
 
 群遅延とかgroup delayという言葉がとても分かりにくい。「位相応答の傾きの関数」のこと。
 
-![image20240217115206_0.png](/_Assets/image20240217115206_0.png)
+![[image20240217115206_0.png|500]]
 
 ## cf.
 
@@ -27,6 +27,7 @@ linearで無い場合、増減したりする。そうなっていると周波
 - [Group delay and phase delay - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Group_delay_and_phase_delay)
 
 以下あまりよくない例。微分の定義上はそういう説明ができるけど、「うなりのピークの差」に、どれほど意味があるのか？
+
 - [群遅延と位相遅延 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E9%81%85%E5%BB%B6%E3%81%A8%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E9%81%85%E5%BB%B6)
 - [周波数特性 - 信号処理 | ++C++; // 未確認飛行 C](https://ufcpp.net/study/sp/dsp/frequency#delay)
 - [Group delay](https://sep.stanford.edu/sep/prof/pvi/spec/paper_html/node19.html)

content/20240217161518 部分分数展開.md

@@ -0,0 +1,33 @@
+# 20240217161518 部分分数展開
+#math #control_theory 
+ラプラス逆変換したい時などに、既知のラプラス逆変換の和になるように展開する時などに使う方法。
+
+## 2次式の場合の例
+$$
+\frac{b}{s(s+a)}
+$$
+を部分分数展開したい。
+
+$$
+\frac{b}{s(s+a)} = \frac{k_1}{s} + \frac{k_2}{s+a}
+$$
+とおく。
+右辺を通分すると
+$$
+ = \frac{k_1(s+a)+k_2}{s(s+a)} = \frac{(k_1 + k_2)s + k_2a}{s(s+a)}
+$$
+最初の式と比較して、
+$$
+k_1 + k_2 = 0,\\
+k_1 a = b
+$$
+
+これを解いて、
+$$
+k_1 = b/a, k_2 = -b/a
+$$
+
+
+$$
+\therefore \\ \ \frac{b}{s(s+a)} = \frac{b}{a}\left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s+a}\right)
+$$