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20240221150711 極、零点とフィルタの特性
#filter #analog #electronics
周波数特性と極、零点 一般的な話
一般にフィルタ(というか古典制御の伝達関数)は、極と零点をつかって、以下のように書ける。
\begin{aligned}
H(s) &= \frac{b_{ms^{m}+}b_{m-1}s^{m-1} + \dots + b_0 }{a_{n}s^{n}+ a_{n-1}s^{n-1} + \dots a_{0}}\
\
&= k\frac{(s-z_1)(s-z_{2)\dots}(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\dots(s-p_n)}
\end{aligned} \tag{1}
このとき、任意の複素平面上の点$q$における振幅、位相特性は
\begin{aligned}
|H(s)|{s=q} &= k\frac{(q-z{1})(q-z_{2)} \dots (q-z_m)}
{(q-p_1)(q-p_2)\dots(q-p_n)}\
\
&= k\frac{r_1e^{j\phi_{1}} \cdot r_2e^{j\phi_{2}} \cdots r_me^{j\phi_{m}}}
{d_1e^{j\theta_{1}} \cdot d_2e^{j\theta_{2}} \cdots d_ne^{j\theta_{n}}}
\end{aligned} \tag{2}
(2) の2番目は極座標表記。
このとき、ゲイン|H(s)| は
\begin{aligned}
|H(s)|{s=q} & = k\frac{r{1}r_{2}\cdots r_m}{d_{1}d_{2}\cdots d_n}\
\
&= \frac{\prod_{t=1}^{m}r_{t}}{\prod_{t=1}^{n}d_t}
\end{aligned} \tag{3}
位相 \arg H(s) は
\begin{aligned}
\arg H(s) {s=q} & = k\frac{\phi{1}+ \phi_{2} + \cdots + \phi_{m}}
{\theta_{1}+ \theta_{2} + \cdots \theta_{n}}\
\
&= \frac{\sum\limits_{t=1}^{m}\phi_{t}}{\sum\limits_{t=1}^{n}\theta_t}
\end{aligned} \tag{4}
と表せる。
周波数特性を気にしたい場合、 点$q$として、周波数j\omega が0から+\infty まで移動した時の振幅と位相を求めれば良い。つまり、虚軸を原点から上方向に進んでいく直線上で上記を求めれば良い。