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# 20240308121258 テイラー展開
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#tech #math
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## とは何
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これはマクローリン展開(x=0 の場合)のような気がするが、参考文献 [原岡, オイラーの公式がわかる.](https://amazon.co.jp/dp/406257818211) では「テイラー展開」と書いてあった。
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関数$f(x)$が、以下のように、べき級数で表せるとする。
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$$
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f(x) = a_{0}+ a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + \cdots + a_{n}x^{n}+ \cdots
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\tag{1}
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$$
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このとき、 $a_{0}, a_{1}, \cdots$ を求めたい。
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$a_0$ は、 $f(x)$ に、 $x = 0$ を代入して
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$$
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a_{0} = f(0)\tag{2}
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$$
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と求めることができる。
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$a_{1}$ を求めるには、 $f(x)$を微分した、
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$$
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f'(x) = a_{1}+ 2a_{2}x + 3a_{3}x^{2}+ \cdots na_{n}x^{n-1} + \cdots\tag{3}
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$$
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に、 $x=0$を代入して、
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$$
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a_{1}= f'(0)\tag{3}
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$$
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で求めることができる。同様に、 $a_{2}$ が求めたかったら、 $f'(x)$を微分して、
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$$
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f''(x) = 2a_{2} + 3\cdot 2\cdot a_{3}x + \cdots n\cdot (n-1) \cdot a_{n}x^{n-2} + \cdots\tag{4}
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$$
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として、
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$$
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a_{2} = \frac{f''(0)}{2}\tag{5}
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$$
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で求めることができる。 この作業を繰りかえしていくことで、順次 $a_{n}$ を求めることができる。微分するたびに、 べき乗の次数が係数に乗算されていくので、その分で割る必要がある。一般化するとこうなる。
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$$
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a_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\tag{6}
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$$
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(1) に(6)を代入すると、
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$$
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\begin{aligned}
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f(x) &= \frac{f(0)}{0!} + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots\\
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&\\
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&= \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
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\end{aligned}\tag{7}
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$$
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## 条件など
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関数が無限に微分できること($C^\infty$級)であること、定義域が実数全体ではない場合があること、など色々あるが、今のところ自分が興味あるのが $e, \sin , \cos$ などで、それらでは実数全体でテイラー展開可能なので、あまり気にしないことにする。
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## Ref.
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- [原岡, オイラーの公式がわかる.](https://amazon.co.jp/dp/406257818211)
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- [テイラー展開・マクローリン展開とは【解析的な関数と具体例】 | 数学の景色](https://mathlandscape.com/taylor-expansion/)
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