3.3 KiB
20240218132513 状態空間モデルの導出
#tech #control_theory #Modern_control_theory
出典: 南裕樹. Pythonによる 制御工学入門(改訂2版). オーム社, 2024年. pp.67-68
制御系のシステムは一般的に微分方程式で表される。
時刻t 、 入力u(t) 、 出力 y(t)
とすると、
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{d^{n}}{dt^{n}} y(t) + a_{n-1} \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}} + \dots + a_{1}\frac{d}{dt} + a_{0y(t)} \
= b_m\frac{d^{m}}{dt^{m}} u(t)+ b_{m-1}\frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}u(t) + \dots + b_1\frac{d}{dt}u(t) + b_{0u(t) }
\end{aligned}
\end{equation} \tag{1}
となる。 制御の範囲では、一般に n \ge m
ここで、p = \frac{d}{dt} とおいて、
\begin{equation}
\left{ ,
\begin{aligned}
A(p) &= p^{n}+ a_{n-1}p^{n-1} + \dots + a_1p+ a_{0} \
B(p) &= p^{m}+ b_{m-1}p^{m-1} + \dots + b_1p+ a_0
\end{aligned}
\right.
\end{equation} \tag{2}
とおくと、 (1) は
A(p)y = B(p)u \tag{3}
と書ける ((t) は省略)。
(3) を変形すると
\frac{y}{B(p)} = \frac{u}{A(p)} \tag{4}
、これを v とおく。
両辺を$A(p)$倍すると、
\begin{aligned}
& A(p) \cdot \frac{y}{B(p)} = u\
&\Leftrightarrow A(p) v = u \
\end{aligned} \tag{5}
両辺を$B(p)$倍すると、
\begin{aligned}
& y = B(p)\frac{u}{A(p)}\
&\Leftrightarrow y = B(p)v \
\end{aligned} \tag{6}
ここで、n次元ベクトル
\boldsymbol{x} =
\left[
\begin{array}{c}
x_{1}\
x_2\
\vdots\
x_n
\end{array}
\right] \coloneqq
\left[ \begin{array}{c} v\ pv\ \vdots\ p^{n-1}v \end{array} \right] \tag{7}
を定義すると、
\boldsymbol{\dot{x}} = p\boldsymbol{x} =
\left[
\begin{array}{c}
pv\
p^2v\
\vdots\
p^nv
\end{array}
\right]
= \left[
\begin{array}{c}
x_2\
x_3\
\vdots\
-a_0x_{1} \ -a_1x_{2}\ \dots +u
\end{array}
\right] \tag{8}
と書くことができる。
(8) の最後、 -a_0x_{1} \ -a_1x_{2}\ \dots +u はどこから来たか？というと、
(5)より、
\begin{aligned}
&A(p) v = u ,\
& \Leftrightarrow p^{n}v + a_{n_{1}p^{n-1}}+ \dots + a_{1p}+ a_{0}= u\
& \Leftrightarrow p^{n}v = - a_{n_{1}p^{n-1}} - \dots - a_{1p}+ a_{0} + u
\end{aligned}
また、 (6)より、
y = (b_{n}p^{m} + b_{m_{1}p^{m-1}}+ \dots + b_{1}p+ b_0)v
展開して順番を変えると
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow b_{0}v+ b_{1}pv + \dots \ b_{m-1}p^{m-1} + b_{m}p^{m}v
\end{aligned}
v, pv, \dots ,p^{m-1}v, b_mp^mv の各係数は \boldsymbol{x} と同じなので、
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow b_{0}x_{1}+ b_{1}x_{2}+ \dots + b_{m}x_{m+1}
\end{aligned} \tag{9}
と表わすことができる。
(8)、(9)を行列で表すと、
\begin{equation}
\left{ ,
\begin{aligned}
\boldsymbol{\dot{x}} &= \boldsymbol{A}\boldsymbol{x} + \boldsymbol{B}\
y &= \boldsymbol{C}\boldsymbol{x}
\end{aligned}
\right .
\end{equation}
ここで、\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C} はそれぞれ、
\boldsymbol{A} = \left[
\begin{array}{l}
&0 \ 1 \ 0 \ \dots &0\
&0 \ 0 \ 1 \ \dots &0\
&\vdots\
&\dots \ \ &1\
&-a_{0} \ -a_{1} \ \dots \ &-a_{n-1}
\end{array}
\right]
\boldsymbol{B} =
\left[
\begin{array}{c}
0\
0\
\vdots\
1
\end{array}
\right]
\boldsymbol{C} =
\left[
b_{0} \ b_{1} \ \dots b_{m} \ 0 \ \dots 0
\right]