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20240308121258 テイラー展開
#tech #math
とは何
これはマクローリン展開(x=0 の場合)のような気がするが、参考文献 原岡, オイラーの公式がわかる. では「テイラー展開」と書いてあった。
関数$f(x)$が、以下のように、べき級数で表せるとする。
f(x) = a_{0}+ a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + \cdots + a_{n}x^{n}+ \cdots
\tag{1}
このとき、 a_{0}, a_{1}, \cdots を求めたい。
a_0 は、 f(x) に、 x = 0 を代入して
a_{0} = f(0)\tag{2}
と求めることができる。
a_{1} を求めるには、 $f(x)$を微分した、
f'(x) = a_{1}+ 2a_{2}x + 3a_{3}x^{2}+ \cdots na_{n}x^{n-1} + \cdots\tag{3}
に、 $x=0$を代入して、
a_{1}= f'(0)\tag{3}
で求めることができる。同様に、 a_{2} が求めたかったら、 $f'(x)$を微分して、
f''(x) = 2a_{2} + 3\cdot 2\cdot a_{3}x + \cdots n\cdot (n-1) \cdot a_{n}x^{n-2} + \cdots\tag{4}
として、
a_{2} = \frac{f''(0)}{2}\tag{5}
で求めることができる。 この作業を繰りかえしていくことで、順次 a_{n} を求めることができる。微分するたびに、 べき乗の次数が係数に乗算されていくので、その分で割る必要がある。一般化するとこうなる。
a_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\tag{6}
(1) に(6)を代入すると、
\begin{aligned}
f(x) &= \frac{f(0)}{0!} + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots\
&\
&= \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
\end{aligned}\tag{7}
条件など
関数が無限に微分できること($C^\infty$級)であること、定義域が実数全体ではない場合があること、など色々あるが、今のところ自分が興味あるのが e, \sin , \cos などで、それらでは実数全体でテイラー展開可能なので、あまり気にしないことにする。