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# 20240218132513 状態空間モデルの導出
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#tech #control_theory #Modern_control_theory
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出典: 南裕樹. _Pythonによる 制御工学入門(改訂2版)_. オーム社, 2024年. pp.67-68
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制御系のシステムは一般的に微分方程式で表される。
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時刻$t$ 、 入力$u(t)$ 、 出力 $y(t)$
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とすると、
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$$
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\begin{equation}
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\begin{aligned}
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\frac{d^{n}}{dt^{n}} y(t) + a_{n-1} \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}} + \dots + a_{1}\frac{d}{dt} + a_{0y(t)} \\
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= b_m\frac{d^{m}}{dt^{m}} u(t)+ b_{m-1}\frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}u(t) + \dots + b_1\frac{d}{dt}u(t) + b_{0u(t) }
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\end{aligned}
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\end{equation} \tag{1}
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$$
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となる。 制御の範囲では、一般に $n \ge m$
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ここで、$p = \frac{d}{dt}$ とおいて、
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$$
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\begin{equation}
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\left\{ \,
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\begin{aligned}
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A(p) &= p^{n}+ a_{n-1}p^{n-1} + \dots + a_1p+ a_{0} \\
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B(p) &= p^{m}+ b_{m-1}p^{m-1} + \dots + b_1p+ a_0
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\end{aligned}
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\right.
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\end{equation} \tag{2}
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$$
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とおくと、 (1) は
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$$
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A(p)y = B(p)u \tag{3}
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$$
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と書ける ((t) は省略)。
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(3) を変形すると
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$$
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\frac{y}{B(p)} = \frac{u}{A(p)} \tag{4}
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$$
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、これを $v$ とおく。
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両辺を$A(p)$倍すると、
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$$
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\begin{aligned}
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& A(p) \cdot \frac{y}{B(p)} = u\\
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&\Leftrightarrow A(p) v = u \\
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\end{aligned} \tag{5}
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$$
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両辺を$B(p)$倍すると、
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$$
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\begin{aligned}
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& y = B(p)\frac{u}{A(p)}\\
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&\Leftrightarrow y = B(p)v \\
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\end{aligned} \tag{6}
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$$
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ここで、n次元ベクトル
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$$
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\boldsymbol{x} =
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\left[
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\begin{array}{c}
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x_{1}\\
|
|
x_2\\
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|
\vdots\\
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|
x_n
|
|
\end{array}
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\right] \coloneqq
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\left[
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\begin{array}{c}
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|
v\\
|
|
pv\\
|
|
\vdots\\
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|
p^{n-1}v
|
|
\end{array}
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\right] \tag{7}
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$$
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を定義すると、
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$$
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\boldsymbol{\dot{x}} = p\boldsymbol{x} =
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\left[
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\begin{array}{c}
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|
pv\\
|
|
p^2v\\
|
|
\vdots\\
|
|
p^nv
|
|
\end{array}
|
|
\right]
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|
= \left[
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\begin{array}{c}
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|
x_2\\
|
|
x_3\\
|
|
\vdots\\
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-a_0x_{1} \ -a_1x_{2}\ \dots +u
|
|
\end{array}
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\right] \tag{8}
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$$
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と書くことができる。
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(8) の最後、 $-a_0x_{1} \ -a_1x_{2}\ \dots +u$ はどこから来たか?というと、
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(5)より、
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$$
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\begin{aligned}
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&A(p) v = u ,\\
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& \Leftrightarrow p^{n}v + a_{n_{1}p^{n-1}}+ \dots + a_{1p}+ a_{0}= u\\
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|
& \Leftrightarrow p^{n}v = - a_{n_{1}p^{n-1}} - \dots - a_{1p}+ a_{0} + u
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\end{aligned}
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$$
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また、 (6)より、
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$$
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y = (b_{n}p^{m} + b_{m_{1}p^{m-1}}+ \dots + b_{1}p+ b_0)v
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$$
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展開して順番を変えると
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$$
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\begin{aligned}
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|
& \Leftrightarrow b_{0}v+ b_{1}pv + \dots \ b_{m-1}p^{m-1} + b_{m}p^{m}v
|
|
\end{aligned}
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$$
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$v, pv, \dots ,p^{m-1}v, b_mp^mv$ の各係数は $\boldsymbol{x}$ と同じなので、
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$$
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\begin{aligned}
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|
& \Leftrightarrow b_{0}x_{1}+ b_{1}x_{2}+ \dots + b_{m}x_{m+1}
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|
\end{aligned} \tag{9}
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$$
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と表わすことができる。
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(8)、(9)を行列で表すと、
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$$
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\begin{equation}
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\left\{ \,
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\begin{aligned}
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\boldsymbol{\dot{x}} &= \boldsymbol{A}\boldsymbol{x} + \boldsymbol{B}\\
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|
y &= \boldsymbol{C}\boldsymbol{x}
|
|
\end{aligned}
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\right .
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\end{equation}
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$$
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ここで、$\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ はそれぞれ、
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$$
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\boldsymbol{A} = \left[
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\begin{array}{l}
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&0 \ 1 \ 0 \ \dots &0\\
|
|
&0 \ 0 \ 1 \ \dots &0\\
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|
&\vdots\\
|
|
&\dots \ \ &1\\
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|
&-a_{0} \ -a_{1} \ \dots \ &-a_{n-1}
|
|
\end{array}
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\right]
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$$
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|
$$
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\boldsymbol{B} =
|
|
\left[
|
|
\begin{array}{c}
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|
0\\
|
|
0\\
|
|
\vdots\\
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|
1
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|
|
|
\end{array}
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|
\right]
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$$
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$$
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\boldsymbol{C} =
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\left[
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b_{0} \ b_{1} \ \dots b_{m} \ 0 \ \dots 0
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\right]
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$$ |